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Übersicht > Lineare Algebra I > Skript: Analytische Geometrie und lineare Algebra I/II
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Analytische Geometrie und lineare Algebra I/II |
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1 Einige Beispiele
1.1 Die komplexen Zahlen
1.2 Betrag einer komplexen Zahl
1.3 Der n-dimensionale Raum
1.4 Geraden in der reellen Ebene
1.5 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten
1.6 Ebenen im 3-dimensionalen reellen Raum
1.7 Lineare Gleichungssysteme
1.8 Übungsaufgaben 1 – 4
2 Vektorräume
2.1 Definition eines Körpers
2.2 Definition einer Gruppe
2.3 Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements
2.4 Definition eines K-Vektorraumes
2.5 Beispiele
2.6 Rechenregeln in Vektorräumen
2.7 Geometrische Anschauung
2.8 Untervektorräume
2.9 Beispiele und Gegenbeispiele
2.10 Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum
2.11 Erzeugendensysteme
2.12 Summe von Teilräumen
2.13 Direkte Summen von Teilräumen
2.14 Direkte Summen von Vektorräumen
2.15 Übungsaufgaben 5 – 11
3 Basis und Dimension
3.1 Lineare Unabhängigkeit
3.2 Kriterium für lineare Abhängigkeit
3.3 Definition einer Basis und Beispiele
3.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung
3.5 Charakterisierung einer Basis
3.6 Polynome
3.7 Basen in Vektorräumen
3.8 Existenzsatz
3.9 Basisergänzungssatz
3.10 Der Austauschsatz
3.11 Folgerung aus dem Austauschsatz
3.12 Dimension eines K-Vektorraums
3.13 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz
3.14 Dimension eines Untervektorraums
3.15 Dimensionssatz
3.16 Lineare Abbildungen
3.17 Beispiele
3.18 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen
3.19 Eigenschaften von linearen Abbildungen
3.20 Isomorphismen von K-Vektorräumen
3.21 Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume
3.22 Dimensionsformel
3.23 Folgerung aus der Dimensionsformel
3.24 Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume
3.25 Übungsaufgaben 12 – 21
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Matrizen
4.2 Produkt von Matrizen
4.3 Transponierte Matrix
4.4 Die Matrix einer linearen Abbildung
4.5 Die Dimension von Hom(V,W )
4.6 Die Einheitsmatrix als Darstellungsmatrix
4.7 Darstellungsmatrix einer Komposition
4.8 Rechenregeln für lineare Abbildungen
4.9 Rechenregeln für Matrizen
4.10 Koordinatenabbildung
4.11 Die zu einer Matrix gehörende Standardabbildung
4.12 Faktorisierung einer linearen Abbildung
4.13 Invertierbare Matrizen
4.14 Basiswechsel in V
4.15 Basiswechsel und Darstellungsmatrix
4.16 Spezialfall
4.17 Beispiel zu 4.15
4.18 Eine geschickte Basiswahl
4.19 Matrizentheoretische Formulierung
4.20 Rang einer Matrix
4.21 Rang und Invertierbarkeit
4.22 Die allgemeine lineare Gruppe
4.23 Die Transponierte einer invertierbaren Matrix
4.24 Der Zeilenrang von Matrizen
4.25 Übungsaufgaben 22 – 30
5 Lineare Gleichungssysteme
5.1 Beispiele
5.2 Lösbarkeitskriterien
5.3 Die Menge der Lösungen
5.4 Elementare Umformungen einer Matrix
5.5 Elementare Umformungen und die Lösungsmenge
5.6 Gaußscher Algorithmus (m = n = rang A)
5.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix
5.8 Gaußscher Algorithmus
5.9 Übungsaufgaben 31 – 35
6 Die Determinante einer Matrix
6.1 Definition der Determinante
6.2 Eigenschaften der Determinante
6.3 Beweis der Eindeutigkeitsaussage in 6.1
6.4 Die Matrix Aij
6.5 Laplacescher Entwicklungssatz
6.6 Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
6.7 Kriterium für invertierbare Matrizen
6.8 Determinante der transponierten Matrix
6.9 Multiplikationssatz für Determinanten
6.10 Methode zur Berechnung der inversen Matrix
6.11 Cramersche Regel
6.12 Orientierung in reellen Vektorräumen
6.13 Die Determinante eines Endomorphismus
6.14 Orientierungserhaltende Automorphismen
6.15 Orientierung im n-dimensionalen reellen Vektorraum
6.16 Die Determinante als Volumen
6.17 Flächeninhalt eines Parallelogramms
6.18 Die spezielle lineare Gruppe
6.19 Übungsaufgaben 36 – 42
7 Metrische Vektorräume
7.1 Involution auf K
7.2 Metrik auf V
7.3 Spezialfälle
7.4 Die zu einer Metrik s gehörende Matrix
7.5 Bezeichnungen
7.6 Basiswechsel
7.7 Euklidische und unitäre Vektorräume
7.8 Das Standardskalarprodukt
7.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
7.10 Winkel
7.11 Orthogonale Summen
7.12 Das Radikal eines metrischen Vektorraumes
7.13 Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung
7.14 Folgerung für symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen
7.15 Dualitätssatz
7.16 Hyperbolische Ebenen
7.17 Symplektische Räume
7.18 Normalform schiefsymmetrischer Matrizen
7.19 Orthogonalbasen
7.20 Orthonormalbasen
7.21 Beispiele
7.22 Trägheitssatz von Sylvester
7.23 Folgerung
7.24 Übungsaufgaben 43 – 52
8 Metrische Abbildungen
8.1 Metrische Abbildung und Isometrie
8.2 Metrische Abbildung eines regulären Raumes
8.3 Spiegelungen
8.4 Die Matrix einer Isometrie
8.5 Lineare Gruppen
8.6 Klassifikation regulärer symplektischer Räume
8.7 Klassifikation orthogonaler Räume
8.8 Beispiele für reguläre orthogonale Vektorräume
8.9 Orthogonale Gruppen
8.10 Bestimmung aller orthogonaler 2 x 2-Matrizen
8.11 Orthogonale Abbildungen
8.12 Geometrische Bedeutung in Dimension 2
8.13 Übungsaufgaben 53 – 54
8.14 Klausur I
9 Eigenwerte
9.1 äquivalente Matrizen
9.2 ähnliche Matrizen
9.3 Diagonalisierbare Endomorphismen und Matrizen
9.4 Eigenwerte und Eigenvektoren
9.5 Kriterium für Diagonalisierbarkeit
9.6 Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig?
9.7 Eigenräume
9.8 Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus
9.9 Charakteristisches Polynom einer Matrix
9.10 Nullstellen des charakteristischen Polynoms
9.11 Dimension eines Eigenraums
9.12 Hauptsatz Über Diagonalisierbarkeit
9.13 Trigonalisierbarkeit
9.14 Selbstadjungierte Endomorphismen
9.15 Spektralsatz (”Hauptachsentransformation“)
9.16 Hermitesche und symmetrische Matrizen
9.17 Beispiele
9.18 Tabelle mit Normalformen von Matrizen
9.19 Übungsaufgaben 55 – 61
10 Einige Grundbegriffe der Algebra
10.1 äquivalenzrelationen
10.2 Quotientenvektorräume
10.3 Die kanonische Abbildung von V auf V/U
10.4 Beispiele für Gruppen
10.5 Untergruppen
10.6 Homomorphismus von Gruppen
10.7 Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen
10.8 Isomorphismus von Gruppen
10.9 Nebenklassen
10.10 Abzählformel
10.11 Die Ordnung von Gruppenelementen
10.12 Die von einem Element erzeugte Untergruppe
10.13 Satz von Lagrange
10.14 Gruppen von Primzahlordnung
10.15 Erzeugung von Gruppen
10.16 Klassifikation der zyklischen Gruppen
10.17 Normalteiler
10.18 Faktorgruppen
10.19 Homomorphiesatz 1
10.20 Der Begriff des Ringes
10.21 Der Begriff einer K-Algebra
10.22 Operationen von Gruppen auf Mengen
10.23 Affner Raum (additives Beispiel)
10.24 Bahn und Stabilisator
10.25 Bahnformel
10.26 Übungsaufgaben 62 – 68
11 Euklidische Räume und Bewegungen
11.1 Lemma Über orthogonale Abbildungen
11.2 Bewegungen von V
11.3 Bewegungen, die den Nullvektor festlassen
11.4 Wie sieht eine Bewegung aus?
11.5 Bewegungsgruppen
11.6 Reelle orthogonale Gruppen
11.7 Fixpunkte orthogonaler Abbildungen
11.8 Drehungen der Ebene
11.9 Drehungen des Raumes
11.10 Orientierung und Bewegungen
11.11 Die Bewegungsgruppe der affnen Ebene
11.12 Die Bewegungsgruppe der Ebene
11.13 Zum Beweis von 11.11
11.14 Symmetriegruppen
11.15 Endliche Untergruppen der orthogonalen Gruppe O(2)
11.16 Endliche Untergruppen der ebenen Bewegungsgruppe
11.17 Endliche Untergruppen der räumlichen Drehgruppe
11.18 Euklidische Räume
11.19 Übungsaufgaben 69 – 80
12 Quadratische Formen und Quadriken
12.1 Der Begriff einer quadratischen Form
12.2 Basiswahl
12.3 Hauptachsentransformation
12.4 Kegelschnitte
12.5 Quadriken
12.6 Beispiel zur Hyperbel
12.7 Übungsaufgaben 81 – 88
13 Die Jordansche Normalform
13.1 Teilbarkeitseigenschaft des charakteristischen Polynoms
13.2 Satz von Cayley-Hamilton
13.3 Verallgemeinerte Eigenräume
13.4 Normalform nilpotenter Endomorphismen
13.5 Übungsaufgabe 89
14 Affne Räume und affne Abbildungen
14.1 Affne Abbildungen
14.2 Beispiele für affne Abbildungen
14.3 Affne Unterräume
14.4 Beispiele für affne Unterräume
14.5 Parallelprojektion
14.6 Affne Koordinaten
14.7 Der Schwerpunkt
14.8 Affne Unterräume und Schwerpunkte
14.9 Bemerkung zum Hauptsatz der affnen Geometrie
15 Projektive Räume und Projektivitäten
15.1 Der projektive Raum
15.2 Homogene Koordinaten
15.3 Beispiele zur Homogenisierung
15.4 Projektive Geraden
15.5 Projektive Unterräume
15.6 Dimensionssatz
15.7 Schnittpunktsatz
15.8 Projektiver Abschluss
15.9 Projektivitäten
15.10 Kollineationen
15.11 Weitere Beispiele zur Homogenisierung
15.12 Übergang vom Projektiven ins Affne
15.13 Explizite Beschreibung von Projektivitäten
15.14 Projektive Basen
15.15 Das Doppelverhältnis
15.16 Zentralprojektion
15.17 Sigma-lineare Abbildungen
15.18 Zum Hauptsatz der projektiven Geometrie
15.19 Satz von Desargues
15.20 Satz von Pappos
15.21 Synthetischer Aufbau der projektiven Geometrie
15.22 Übungsaufgaben 90 – 92
15.23 Klausur II
16 Multilineare Algebra
16.1 Das Vektorprodukt
16.2 Geometrische Eigenschaften des Vektorprodukts
16.3 äußere Algebren
16.4 Die äußere Algebra eines K-Vektorraums
16.5 Zwei Regeln für die äußere Multiplikation von Vektoren
16.6 Ein neues Kriterium für lineare Abhängigkeit
16.7 Ein Kriterium für Untervektorräume
16.8 Die äußere Potenz
16.9 Fortsetzungssatz
16.10 Die Determinante
Seitenanzahl: 252 |
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| Schwerpunkte: |
Grundwissen, Vektorräume, Basis und Dimension, lineare Abbildungen und Matritzen, Lineare Gleichungssysteme, Determinante einer Matrix, Metrische Vektorräume, Metrische Abbildungen, Eigenwerte, Euklidische Räume und Bewegungen, Quadratische Formen und Quadriken, Jordansche Normalform, Affine Räume und Abbildungen, Projektive Räume und Projektivitäten, Multilineare Algebra |
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| Autor: |
Prof. Dr. Ina Kersten
Universität Hamburg |
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| Eingabedatum: |
9.0.2010 |
| Eingegeben von: |
Redaktion |
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| Format: |
pdf-Format |
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| Ranking: |
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| euler |
7.0.2003 | | |
Relativ gute und übersichtliche Struktur. Die Inhalte werden verständlich mitgeteilt und meist mit Beispielen vertieft. Ein sehr gutes Skript, auch zum Nachschlagen geignet. | | | | | | | |
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